Em post anterior, foi mostrado um resultado simples, e que fica bem ilustrado utilizando a “Álgebra de pedrinhas”.
É simples estender o mesmo raciocínio, para provar resultados sobre somas consecutivas de outros números.
A soma de 4 números inteiros consecutivos tem resto 2
Note o padrão: entre 4 inteiros consecutivos, um deles será divísivel por 4, outros terão restos 1, 2 e 3.
A soma deles terá resto (1 + 2 + 3) mod 4 = 2. É como somar as pedrinhas brancas do diagrama acima: vai completar uma linha, e sobrar 2 para a próxima linha.
Ex. 3+4+5+6 = 18
18 = 4*4 + 2, portanto, 18 = 2 mod 4
A soma de 5 números inteiros consecutivos tem resto 0
Mesmo raciocínio. Entre 5 inteiros consecutivos, um deles será divisível por 5, outros terão resto de 1 a 4.
Somando os restos 1, 2, 3 e 4, dá 10, o que é divisível por 5. É como se a bolinha branca unitária se juntasse à de 4 unidades, fechando uma linha completa, e o mesmo com a de 2 e 3. Todas as 5 colunas estariam ocupadas, sem sobrar nenhuma bolinha.
Ex. 7+8+9+10+11 = 45, divisível por 5.
9+10+11+12+13=55, divisível por 5.
A mesma estrutura pode ser utilizada para provar resultados para soma de 6 números consecutivos, 7, etc…
Veja também:
Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.