Em post anterior, vimos uma prova visual do Pequeno Teorema de Fermat.
Neste post, vamos ilustrar o mesmo raciocínio, mas para mostrar porque o mesmo teorema não funciona quando os números envolvidos não são primos entre si.
O teorema diz que p | n^p – n, para p primo.
Exemplo. n = 3 e p = 5.
n^p – n = 3^5 – 3 = 240, e 240 é divisível por 5.
Contra exemplo. n = 2 e p = 4.
n^p – n = 2^4 – 2 = 14, e 14 não é divisível por 4 (para o teorema funcionar, p deve ser primo em relação a n).
Vamos visualizar o caso n =2 e p =4.
Há duas combinações de cor única:
Há quatro combinações com 1 azul e 3 brancos. Note o mesmo comportamento descrito anteriormente, de poder fazer um colar e ir girando a cada conta. A repetição só se dá quando girar todas as contas.
De modo similar, há quatro combinações com 3 azuis e 1 branco.
Porém, com 2 azuis e 2 brancos, há uma diferença.
O primeiro grupo de 4 forma um colar que precisa de 4 giros para retornar ao início.
Porém, o grupo da direita precisa de apenas 2 giros para retornar à mesma posição. Isso porque há repetição do padrão de cores, e há repetição porque 2 (cores) e 4 (posições) têm divisor comum (2).
Isso “quebra” a formação de grupos de 4, demonstrando o motivo do pequeno Teorema de Fermat não ser válido para n e p com divisores comuns.
Portanto, essa é a forma de visualizar o importante Pequeno Teorema de Fermat.
Veja também:
Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.