A famosa série de Fibonacci funciona assim: comece com 1, 1, e o próximo termo é a soma dos dois anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
É possível visualizar essa bela sequência na forma retangular, aproveitando o fato de que o próximo termo será igual ao lado dos dois anteriores.
Note o sentido da espiral: começa do 1. Direita, para cima, esquerda, para baixo, direita, etc…
Seja Fn o n-ésimo termo da sequência. F1 = 1, F2 =1, F3 = 2, etc…
A prova visual consiste em olhar para o eixo y (dos quadrados marcados em vermelho).
Note que F1 + F3 + F5 = F6. E o padrão vale para os próximos itens. Digamos, com F7, também adicionará um valor no eixo y, e que será igual ao tamanho do F8, e assim sucessivamente, para os próximos quadrados que surgirem.
Exemplo: F1 + F3 + F5 = 1 + 2 + 5 = 8
F6 = 8
Este teorema é muito similar, porém, na horizontal.
Note que F2 + F4 + F6, olhando para a contribuição no eixo x, são iguais ao próximo item (F7), a menos do primeiro valor (1).
Exemplo:
F2 + F4 + F6 = 1 + 3 + 8 = 12
F7–1 = 13–1 = 12
Este é a soma dos dois teoremas anteriores.
Se somar só os ímpares, dá F_n.
Se somar só os pares, dá F_(n+1) — 1.
Então,
Soma = F_n + F_(n+1) — 1
Mas a soma de dois termos Fibonacci consecutivos é o próximo termo Fibonacci:
Soma = F_(n+2) — 1
Exemplo:
F1 + … + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
F8–1 = 21–1 = 20
Gif animado da espiral de Fibonacci.
Arnaldo Gunzi, jan 2023.
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Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.