Normalmente, a prova é por indução finita. Mas dá para enxergar o padrão, então vamos explorar isso.
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * … * n
2^n = 2 * 2 * 2 * 2 * … * 2, n vezes.
Ambas as séries em n elementos, então, colocando um embaixo do outro:
Elemento a elemento, nota-se que só comecinho o n! perde. Depois disso, cada elemento do fatorial vai ficando maior ainda, enquanto o 2^n continua multiplicando por 2. Ou seja, quanto maior o n, mais piora essa diferença.
Só para ilustrar, segue um gráfico para os primeiros valores.
Gosto muito mais de enxergar a solução do que utilizar um método analítico, como indução finita. Nem tudo tem uma visualização legal, mas para o que tiver, vale muito a pena.
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Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.