A sequência 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 é conhecida faz tempo, e há uma prova visual bastante bonita.
Imagine que vamos somando retângulos, onde a área corresponde ao valor da sequência.
O primeiro tem área 1/2 (lados 1 x 1/2):
O segundo com área 1/4 (lados 1/2 e 1/2):
O terceiro com área 1/8 (lados 1/4 e 1/2):
(As cores mudam, porque o código que escrevi joga cores aleatórias)
E assim sucessivamente. Após 8 iterações:
Note um padrão: sempre sobra um retângulo, e esse retângulo sempre é preenchido com metade da área na iteração seguinte.
Após 20 iterações:
A soma da área vai tendendo a se aproximar de 1, sem nunca chegar.
Um exercício é fazer numa calculadora ou no Excel a soma 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + … até cansar, e verificar o resultado!
Para brincar iterativamente, neste link:
Source code no Github:
https://github.com/asgunzi/Soma-Serie-Meio
Veja também:
Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.