Considere a série
x = 1 – 1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + …
Se agruparmos os termos (1 – 1) teremos uma soma de fatores iguais a zero:
x = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)+ (1 – 1) + …
Ou seja,
x = 0
Porém, se fizemos um agrupamento levemente diferente:
x = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) …
Chegaremos à conclusão de que:
x = 1
Dessa forma, a conclusão é de que 0 = 1.
Note também que podemos fazer o mesmo procedimento com outros números. Digamos, para provar que 0 = 8:
x = 8 – 8 + 8 – 8 + 8 – 8 + 8 – 8 + …
Se 0 = 1 e 0 = 8, também podemos provar que 1 = 8. Todos os números são iguais a todos os outros números. E nada mais faz sentido.
Qual o furo da lógica?
Seja a série:
x = 1 – 1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + …
Considerando S a soma, vemos que, dependendo de onde parar, temos uma soma diferente.
E esse padrão continua, indefinidamente.
Portanto, a soma é uma série que não converge para um único número.
Se a série não converge, não podemos atribuir a ela um único valor, e daí o erro do raciocínio anterior.
É muito comum em paradoxos do tipo algum dos seguintes erros: dividir por zero, multiplicar por infinito, atribuir convergência à uma série que não converge.
Veja também:
Forgotten Lore - Ideias Técnicas com uma pitada de filosofia.